Curvas de Bézier

Curvas de Bézier:

Destacamos este elemento de dibujo de Inkscape ya que las herramientas de dibujo libre que incorporan la mayoría de programas vectoriales se basan en este concepto para el trazado de líneas curvas.

Este tipo de curvas fue desarrollado por Pierre Bézier por encargo de la empresa de automóviles Renault™ que buscaba una representación matemática para definir las transiciones suaves en la curvatura de las líneas de sus automóviles.

Curvas Bézier

Se generan a partir de funciones polinómicas de grado tres[1] que permiten la representación de cualquier forma curvada y evitan la complicación innecesaria de cálculos matemáticos que se produciría usando polinomios de mayor grado.

Cualquier trazado de estas características está definido por una serie de puntos por los que pasa la curva y otros exteriores a ella que definen sus puntos de inflexión, es decir, aquellos en que cambia de curvatura, pasando de cóncava a convexa o viceversa.

Manejadores de la curva

En un trazado Bézier existen "manejadores" en cada uno de sus nodos de manera que se puede alterar la curvatura a voluntad para adaptar el trazo a cualquier forma imaginable, controlando la suavidad de las zonas de transición.

Curvas de B-SPLINE:

Consideremos una parábola parametrizada en un intervalo [u₁,u₂] por c(u). Usando la multiafinidad de la polar, podemos expresar c(u) como un paso del algoritmo de de Casteljau,

c(u) = c[u,u] = u2-u u2-u1 c[u1,u]+ u-u1 u2-u1 c[u,u2]  ,

y con otro paso del algoritmo de de Casteljau, pero esta vez usando nudos auxiliares u₀,u₃,

c(u) =   u2-u u2-u1 ( u2-u u2-u0 c[u0,u1]+ u-u0 u2-u0 c[u1,u2]) +   u-u1 u2-u1 ( u3-u u3-u1 c[u1,u2]+ u-u1 u3-u1 c[u2,u3])  , (14)

con lo cual hemos expresado cualquier punto c(u) en función de tres vértices, c[u₀,u₁],c[u₁,u₂],c[u₂,u ₃], por ninguno de los cuales pasará en general la curva.  Ejemplo

Nótese que, en el caso particular en el que u₀ = u₁, u₃ = u₂, recuperamos precisamente el algoritmo de de Casteljau original para el polígono de control {c₀ = c[u₁,u₁], c₁ = c[u₁,u₂], c₂ = c[u₂,u₂]}.

Por tanto, lo que hemos hecho ha sido generalizar el algoritmo de de Casteljau, mediante la introducción de dos nudos auxiliares. Para que todos los sumandos sean positivos en la parametrización, esta estará definida en el intervalo [u₁,u₂]. El efecto de esta generalización es acortar la curva de Bézier que correspondería al polígono, lo que nos servirá para unirla a otros tramos de curvas polinómicas.

Resumiendo, los pasos seguidos en el algoritmo han sido:

r = 0)     c[u0,u1], c[u1,u2], c[u2,u3] r = 1)     c[u1,u], c[u,u2] r = 2)     c[u,u]  . (15)

El polígono B-spline para la parábola estará formado por los vértices {d₀: = c[u₀,u₁],d₁: = c[u₁,u₂],d₂: = c[u₂,u₃]}.

Este es el algoritmo de de Boor para una curva parabólica de un único tramo. El algoritmo se generaliza sin dificultad a curvas de cualquier grado, n, y un solo tramo. El polígono estará formado por n+1 vértices, como corresponde a una curva polinómica de grado n, {d₀,...,d_n}, donde d_i = c[u_i,...,u_i+n-1]. La sucesión de nudos estará formada por 2n valores del parámetro, {u₀,...,u_2n-1}. 

Finalmente el algoritmo de de Boor consiste en la aplicación reiterada del algoritmo de de Casteljau,

d1)i(u) : = c[ui+1,...,ui+n-1,u]  ,      i = 0,...,n-1  , =   ui+n-u ui+n-ui di+ u-ui ui+n-ui di+1  , dr)i(u) : = c[ui+r,...,ui+n-1,u < r > ]  , i = 0,...,n-r  , r = 1,...,n  , =   ui+n-u ui+n-ui+r-1 dr-1)i(u)+ u-ui+r-1 ui+n-ui+r-1 dr-1)i+1(u)  , dn)0(u) : = c[u < n > ] = un-u un-un-1 dn-1)0(u)+ u-un-1 un-un-1 dn-1)1(u)  . (16)

Por supuesto, c(u) = dⁿ⁾₀(u). La parametrización está definida en el intervalo final, [u_n-1,u_n]. 

Curvas de B-SPLINE:

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escalas.¹​ El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero.

Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensión fractal fueron establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida.

. Fractales: Definición y Características Antes del desarrollo de la geometría fractal, las propiedades de estos objetos ya habían sido puestas de manifiesto. Durante un estudio sobre líneas fronterizas [2], Lewis F. Richardson observó que la longitud de éstas aumenta en función del grado de precisión con el que se realiza la medida. Como con cualquier curva, el procedimiento de medida de la frontera consiste en aproximar la curva por medio de un camino poligonal con lados de longitud , como se muestra en la figura 1. Al evaluar la longitud de la curva poligonal, haciendo que → 0, se espera 2 Figura 2: Representación gráfica del conjunto de Mandelbrot y detalle. que la estimación de la longitud se aproxime a un límite. Sin embargo, una frontera o una línea de costa no es el tipo de curva estudiada normalmente en matemáticas. Aunque es una curva continua, no posee la “suavidad” necesaria para que pueda ser derivable. De hecho, a medida que aumentamos la resolución, surgen más entrantes y salientes, como bahías y cabos, por lo que la longitud a aproximar aumenta, y la longitud total a estimar parece aumentar sin límites L( ) → ∞. Los fractales son objetos matemáticos cuya principal peculiaridad es el ser auto-similares, es decir, que a cualquier escala se puede observar la misma estructura. . Los fractales tienen, por lo tanto una cantidad infinita de detalle. A medida que aumentamos la resolución obtenemos más detalles, de la misma forma que sucede en el problema del cálculo de longitudes de líneas de costa. En la figura 2 se muestra la representación gráfica del conjunto de Mandelbrot, descubierto por Mandelbrot en 1980. Éste genera una imagen curiosa, cuya popularización es responsable del desarrollo de la ciencia fractal. En ella se puede observar la propiedad de auto-similitud. Al observar un detalle se puede reconocer una estructura similar a la global. En principio esta auto-similitud es infinita, pero sólo en el caso de los fractales matemáticos. Los fractales naturales sólo presentan un número finito de “niveles” auto-similares. Además, aunque parecidos no poseen una semejanza totalmente exacta. A esta propiedad de invarianza estadística del escalado se le denomina auto-similitud estadística. 3 Del principio de auto-similitud se desprende una consecuencia importante, ya intuida por L. F. Richardson: la imposibilidad de medir el contorno de un fractal matemático. Su área es finita y puede ser calculada, sin embargo su contorno es infinito. De forma general, podemos caracterizar los fractales mediante las siguientes propiedades: • Tienen una estructura compleja a cualquier resolución. • Tienen una dimensión no entera. • Tienen un perímetro de longitud infinita pero un área limitada. • Son auto-similares e independientes de la escala.